Matthias Wendt's Algebraische Zahlentheorie [Lecture notes] PDF

By Matthias Wendt

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En )). Das Lemma erlaubt, f¨ ur ein Gitter H ⊆ Rn ein Volumen durch vol(H) = vol(P (e1 , . . , en )) f¨ ur eine Basis e1 , . . , en von H zu definieren. 7 (Minkowski). Sei H ⊆ Rn ein Gitter, S ⊆ Rn eine meßbare Teilmenge mit vol(S) > vol(H). Dann existieren verschiedene Punkte x, y ∈ S mit x − y ∈ H. Beweis. Sei e1 , . . , en eine Z-Basis von H und P das zugeh¨orige Parallelotop. Es gilt Rn = ∪h∈H (h + P ), also S = ∪h∈H (S ∩ (h + P )). Aus der σ-Additivit¨at folgt vol(S) = h∈H vol(S ∩ (h + P )), aus der Translationsinvarianz des StandardLebesgue-Maßes folgt vol(S ∩ (h + P )) = vol((−h + S) ∩ P ).

Die Idealnorm eines (ganzen) Ideals kann auch direkt an der HNF-Basis abgelesen werden. Wenn α1 , . . , αn eine Ganzheitsbasis ist und λij die Koeffizienten der HNF-Basis des Ideals I ⊆ OK , dann ist die Idealnorm gleich dem Produkt λii . 4. Sei α1 , . . , αn eine Ganzheitsbasis von K, und sei das Ideal I durch die Koeffizientenmatrix M gegeben, deren Spalten die Koeffizienten einer Z-Basis x1 , . . , xn von I enthalten. Zuerst betrachtet man die Spurpaarungsmatrix T = (Tr(αi αj ))i,j und die Diskriminante dK = det T .

Wir sehen also an der Antwort in der dritten Zeile, daß (2) in OK tr¨age ist. In der vierten Zeile sehen wir, daß (3) in OK vollst¨ andig zerlegt wird. In der f¨ unften Zeile wird (5) faktorisiert. Wir sehen (5) = p1 p22 , der Verzweigungsindex von p2 ist 2. Mit dem Befehl idealhnf kann man dann die HNF-Basis f¨ ur das Ideal p2 ausrechnen, diese HNF-Basis ist bez¨ uglich einer Ganzheitsbasis von OK zu verstehen. Zum Schluß wollen wir die Faktoren von (5) durch θ ausdr¨ ucken. Dies wird mit nfbasistoalg erzielt: wir sehen p1 = 5, 2θ2 + 36θ + 12 5 5, − , p2 = 2θ2 + 36θ + 7 5 .

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by Christopher
4.4

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