Análisis Funcional by Juan Carlos Cabello Píñar PDF

By Juan Carlos Cabello Píñar

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Espacios normados. 4. Relación de ejercicios 1 1. Sea X = CR ([0, 1]). Pruébese que H = {f ∈ X : 0 f (t)dt = 0} es cerrado en X. Calcúlese la norma en X/H de las clases de las siguientes funciones: i) f (t) = sen(πt); ii) f (t) = cos(πt); iii) h(t) = t − 1. 2. Pruébese que a) El conjunto L∞ [0, 1] es un subespacio vectorial de K[0,1] . b) Pruébese que la aplicación f −→ ν∞ (f ) define una seminorma sobre L∞ [0, 1]. c) Pruébese que la aplicación f −→ ν∞ (f ), donde por f se indica la clase de f , define una norma completa en el espacio cociente L∞ [0, 1] Cap´ıtulo 2 Teorema de Hahn-Banach Tema 2: Teorema de Hahn-Banach Este capítulo está dedicado al desarrollo de uno de los tres resultados conocidos como los tres principios del Análisis Funcional, nos estamos refiriendo al Teorema de HahnBanach.

Bidual de un espacio normado. Espacios reflexivos. Podemos ahora considerar el espacio dual de un espacio dual. Sea X un espacio normado, llamamos bidual de X y denotamos por X ∗∗ al espacio dual de X ∗ , esto es, al espacio (X ∗ )∗ dotado con la norma ||x∗∗ || = sup{|x∗∗ (x∗ )| : x∗ ∈ BX ∗ }. Veamos algunos elementos distinguidos del bidual. Nótese que para cada x ∈ X, podemos definir la aplicación JX (x) : X ∗ → K dada por JX (x)(f ) = f (x), ∀f ∈ X ∗ , que es, claramente lineal, y puesto que, |JX (x)(f )| = |f (x)| ≤ f x , ∀f ∈ X ∗ , es también continua.

0 En el teorema que sigue, debido a Hahn, se dan condiciones necesarias y suficientes para que un sistema de infinitas ecuaciones lineales en un espacio normado tenga solución. 7 Sea X un espacio normado, A = {zi ; i ∈ I} una familia de elementos de X y {ci ; i ∈ I} una familia de escalares. Equivalen: 1. Existe f ∈ X ∗ tal que f (zi ) = ci ∀i. 2. Otras aplicaciones. 49 2. Existe M > 0 verificando |α1 ci1 + α2 ci2 + ... + αn cin | ≤ M ||α1 zi1 + α2 zi2 + ... + αn zin ||, para cualquier combinación lineal α1 zi1 + α2 zi2 + ...

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by Steven
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